基本不等式

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Sakits 2月 24, 2019

基本不等式

  基本题型:给一个等式,求另一个式子的最值,各参数均为正实数。

本质 / 基本思路

  这种题型的本质是要求一个式子的最值,但是式子里的参数必须满足给定的等式。
  为了满足给定的等式,我们必须使用这个等式配合基本不等式构造出答案式子的不等式从而得到答案式子的最值。
  有两种基本的思路,并且他们有不同的适用范围。

基本式子 / 性质

a2+b22aba+b2ab\begin{gathered} a^2 + b^2 \geq 2ab\\ a + b \geq 2\sqrt{ab} \end{gathered}

  可以发现不等式两边的次数都是相同的。
  并且通过这两个式子我们可以在 a2+b2,a+b,aba^2 + b^2,a+b,ab 之间变换。

11. 给定等式里各项只有两种不同的次数

  对于等式里只有两次的一般是这么做
  将给定等式乘入答案式子使得答案式子变成 00 次(因为只有两种次数所以总有办法),因为是等式,乘进去之后值还是等于答案式子,变成 00 次之后消元利用基本不等式就可以得到答案了。

11:正数 x,yx,y 满足 x2+3xy1=0x^2 + 3xy - 1 = 0 ,求 x+yx + y 的最小值。
解:

(x+y)2=(x+y)2x2+3xy=x2+2xy+y2x2+3xy=1+2yx+y2x21+3yx\begin{aligned} (x + y)^2 &= \frac{(x + y)^2}{x^2 +3xy}\\ &=\frac{x^2 + 2xy + y^2}{x^2 + 3xy}\\ &=\frac{1 + \frac{2y}{x} + \frac{y^2}{x^2}}{1 + \frac{3y}{x}} \end{aligned}

t=1+3yxt = 1 + \frac{3y}{x}

(x+y)2=1+2t13+(t13)2t=t+4t+4989\begin{aligned} (x+y)^2 &= \frac{1 + 2\frac{t - 1}{3} + (\frac{t - 1}{3})^2}{t}\\ &=\frac{t + \frac{4}{t} + 4}{9}\\ &\geq\frac{8}{9} \end{aligned}

x+y223x + y \geq \frac{2\sqrt{2}}{3}
22:已知 x+3y=5xyx + 3y = 5xy ,求 3x+4y3x + 4y 的最小值。
如果最高次项系数可以变成常数就会很舒服,因为分母是常数
这题把等式变成 1y+3x=5\frac{1}{y} + \frac{3}{x} = 5 再去乘。

2.2. 给定等式里有三种不同次数

  想办法在给定等式里利用基本不等式构造出答案式子。这要求把给定式子变换成只有 a+ba + b 类或者 abab 类。
  构造前把含参的放左边,常数放右边,构造左边最后大于等于或者小于等于右边,即常数项。
  abab 类的比较简单,一般是通过 a+ba + b 直接用基本不等式变成 abab 类,即答案式子。
  a+ba + b 类的需要把给定等式构造成 (a+c1)(b+c2)(a + c_1)(b + c_2) 类,然后用基本不等式。
例:2x+4y+xy=12x + 4y + xy = 1 ,求 x+2yx +2y 最小值。
解:

2x+4y+xy=1x(y+2)+4y=1x(y+2)+4y+8=9(x+4)(y+2)=9(x+4)(2y+4)=182(x+4)(2y+4)=62x+4+2y+462x+2y628\begin{aligned} 2x + 4y + xy &= 1\\ x(y + 2) + 4y &= 1\\ x(y + 2) + 4y + 8 &= 9\\ (x + 4)(y + 2) &= 9\\ (x + 4)(2y + 4) &= 18\\ 2\sqrt{(x + 4)(2y + 4)} &= 6\sqrt{2}\\ x + 4 + 2y + 4&\geq 6\sqrt{2}\\ x + 2y&\geq 6\sqrt{2} - 8 \end{aligned}

  总结:如果是第二种那么只能想办法构造,如果是第一种先看看能否通过简单的构造得到答案,不行的话再使用第一种思路。